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Linux-Magazin 07/2014
© Bernardo Ertl, 123RF

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Kontra-intuitive Entscheidungen

Eine Ziege, wahrscheinlich

Mathematische Rätsel mit bedingten Wahrscheinlichkeiten knackt der Fachmann mit der Bayes-Formel oder auch mit diskreten Verteilungen – erzeugt von kurzen Perl-Skripten.

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Das bei Statistikern gut bestallte Ziegenproblem [2] eignet sich bestens, um mehr praktisch als mathematisch Begabte reihenweise zu blamieren – besonders wenn sie leidenschaftlich gegen die richtige Lösung wettern. Im Kern geht es um eine Spielshow, bei der ein Kandidat auf eine Tür deutet und der Moderator eine Tür öffnet, hinter der entweder eine Ziege oder ein Gewinn wartet (Abbildung 1). Wer hätte gedacht, dass sich Wahrscheinlichkeiten in offensichtlich festgezimmerten Fernsehstudios dramatisch ändern, nur weil der Moderator eine Tür ohne Preis öffnet?

Das menschliche Gehirn scheint sich schwer zu tun mit so genannten bedingten Wahrscheinlichkeiten, die zufällige Ereignisse mit Vorbedingungen beschreiben. So auch bei der schon vor 15 Jahren im Perl-Snapshot [3] gestellten Aufgabe: Gegeben ist ein Zylinder, in dem drei Karten liegen. Die erste ist vorne und hinten schwarz, die zweite vorne und hinten rot, die dritte auf der einen Seite schwarz und auf der anderen rot (Abbildung 2). Eine Karte wird gezogen. Man sieht die Vorderseite, die ist rot. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass auch die Rückseite der gezogenen Karte rot ist?

© © Cepheus, WikipediaAbbildung 1: In der Hoffnung, das Auto zu gewinnen, wählt der Kandidat die Tür 1. Der Showmaster, der weiß, hinter welcher Tür das Auto steht, öffnet daraufhin Tür 3, hinter der eine Ziege steht. Er bietet dem Kandidaten an, die Tür zu wechseln. Ist es vorteilhaft für den Kandidaten, seine erste Wahl zu ändern und sich für Tür 2 zu entscheiden? (Quelle: Wikipedia)
Abbildung 2: Aus einem Zylinder mit einer schwarz-roten, einer schwarz-schwarzen und einer rot-roten Karte zieht ein Proband eine Karte.

Online PLUS

In einem Screencast demonstriert Michael Schilli das Beispiel: http://www.linux-magazin.de/2014/07/plus

Kontra-intuitiv

Die meisten Leute antworten darauf mit "50 Prozent", denn scheinbar gibt es zwei gleich wahrscheinliche Fälle, die rot-schwarze und die rot-rote Karte, und einmal ist die Kehrseite schwarz und einmal rot. Verrät der Kundige dem Zuhörer aber dann, dass die korrekte Lösung "66 Prozent" lautet, reagieren die meisten verblüfft. Der Kniff liegt in den Vorbedingungen des Experiments: Die rot-rote Karte zählt einfach doppelt im Vergleich zur rot-schwarzen, weil sie die Vorbedingung des Experiments "Eine Seite ist rot" doppelt erfüllt.

Schon vor 250 Jahren hatte sich der Mathematiker Thomas Bayes bemüht, solche intuitiv fehlerträchtigen Probleme in eine Formel zu fassen, an der sich nicht rütteln lässt. Der "Satz von Bayes" [4] beschreibt in seiner "diachronischen Interpretierung", wie sich die Wahrscheinlichkeiten von Hypothesen im Lauf der Zeit verändern, falls in einem Experiment neue Daten auftauchen. Die Formel

P(H|D) = P(H) * P(D|H) / P(D)

definiert die Wahrscheinlichkeit P einer Hypothese H, zum Beispiel "Ich habe die rot-rote Karte gezogen", in Abhängigkeit von neu auftauchenden Daten D wie "Die Vorderseite der gezogenen Karte ist rot" (Abbildung 3).

Auf der rechten Seite der Gleichung ist P(H) die Ausgangswahrscheinlichkeit der Hypothese, noch bevor neue Daten vorliegen. Bayes multipliziert sie mit P(D|H), also der Wahrscheinlichkeit, dass die Daten unter der Hypothese vorliegen. Wie wahrscheinlich ist es dann, dass der Kartenfreund tatsächlich auf eine rote Vorderseite blickt, falls er die rot-rote Karte gezogen hat?

Im Nenner der rechten Seite steht schließlich mit P(D) die Wahrscheinlichkeit der vorliegenden Daten, unabhängig von irgendeiner Hypothese. Wie wahrscheinlich ist es, dass der Proband nach dem Ziehen irgendeiner Karte auf eine rote Vorderseite starrt?

Abbildung 3: Der Satz von Bayes definiert die Wahrscheinlichkeit einer Hypothese in Abhängigkeit von neu auftauchenden Daten. (Quelle: Wikipedia, [4])

Bayes weiß es besser

Alle drei möglichen Hypothesen – zufällig gezogene Karten – sind in diesem Experiment offensichtlich gleich wahrscheinlich. Also ist P(H) – die Wahrscheinlichkeit, dass die rot-rote Karte gezogen wird – gleich 1/3, denn sie wird in einem Drittel aller Fälle gezogen. Bei Annahme dieser Hypothese ist die Kehrseite der gezogenen rot-roten Karte trivialerweise in exakt 100 Prozent aller Fälle ebenfalls rot, also ist P(D|H) = 1.

Unabhängig von der Hypothese einer gezogenen Karte ist die Wahrscheinlichkeit, nach dem Ziehen auf eine rote Kartenoberseite zu blicken, 50 Prozent, ergo ist P(D) = 1/2. Schließlich liegen im Zylinder sechs Kartenhälften, von denen drei rot und drei schwarz sind. In die Bayes-Formel eingesetzt ergibt sich für P(H|D) entsprechend 1/3 * 1/(1/2) = 2/3. Die Bayes-Formel sagt also mit 66 Prozent das im Experiment nachweisbar korrekte Ergebnis voraus und widerlegt die Intuition.

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